Une densité symétrique

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Espérance, variance, écart-type

Énoncé

Soit $X$ de densité $f (t) = \frac{1}{2} e^{- ∣ t ∣}$ sur $R$ . Calculer $E (X)$ , puis $V (X)$ sachant que $\int_{- \infty}^{+ \infty} t^{2} f (t) d t = 2$ . Enfin, calculer $P (- 1 \leq X \leq 1)$ .

Corrigé

Espérance. La fonction $t \mapsto t f (t)$ est impaire et les deux morceaux convergent (chacun vaut $\frac{1}{2}$ en valeur absolue, calcul du chapitre 7). Ils se compensent, donc $E (X) = 0$ .

Variance. $V (X) = 2 - 0^{2} = 2$ , et $σ (X) = 2 \approx 1, 414$ .

Probabilité. Par symétrie,

$P (- 1 \leq X \leq 1) = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{- t} d t = 1 - e^{- 1} \approx 0, 632.$

Contrôle. L'intervalle $[- 1, 1]$ est plus étroit que $[- σ, σ] = [- 1, 414; 1, 414]$ , et il capte déjà $63, 2 %$ de la masse : la densité est très concentrée autour de $0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.