Une densité symétrique en cuvette

C'est une densité. $f$ est positive (un carré multiplié par $\frac{3}{2}$), continue sauf en $-1$ et $1$, et $${\int }_{-1}^1\frac{3}{2}{t}^2\mathrm{d}t=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}=1.$$

L'espérance. $$E(X)={\int }_{-1}^1\frac{3}{2}{t}^3\mathrm{d}t=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^4}{4}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)=0.$$ On pouvait le prévoir : $f$ est paire, donc la masse est répartie symétriquement autour de $0$.

Le moment d'ordre deux. $${\int }_{-1}^1\frac{3}{2}{t}^4\mathrm{d}t=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^5}{5}\right]}_{-1}^1=\frac{3}{2}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{5}.$$

La variance. Par Kœnig-Huygens, $V(X)=\frac{3}{5}-0^2=\frac{3}{5}=0,6$, et $\sigma (X)=\sqrt{0,6}\approx 0,775$.

La probabilité demandée. L'événement $|X|\le \frac{1}{2}$ est l'intervalle $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ : $$P\left(|X|\le \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}{\left[\frac{t^3}{3}\right]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}=0,125.$$

Le point délicat. L'espérance est $0$ et pourtant la variable ne s'approche presque jamais de $0$ : seulement $12,5\%$ de la masse est dans la moitié centrale. Une espérance nulle n'est pas une valeur « typique », c'est un centre de gravité — et l'écart-type $0,775$, très grand devant la largeur de l'intervalle, le dit.