Une exponentielle transformée en rectangle

La répartition de $X$. Pour $x\ge 0$, $F_X(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=1-{\mathrm{e}}^{-x}$ ; et $F_X(x)=0$ pour $x<0$.

Les valeurs prises par $Y$. $X$ vit dans $[0,+\infty [$, et $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$ y décroît de $1$ vers $0$ : $Y$ prend donc ses valeurs dans $\left]0,1\right]$. D'où $F_Y(y)=0$ pour $y\le 0$ et $F_Y(y)=1$ pour $y>1$.

Le cœur du calcul. Soit $y\in ]0,1]$. Le logarithme étant strictement croissant, $${\mathrm{e}}^{-X}\le y⟺-X\le \ln y⟺X\ge -\ln y,$$ et $-\ln y\ge 0$ puisque $y\le 1$. Donc $$F_Y(y)=P(X\ge -\ln y)=1-F_X(-\ln y)=1-\left(1-{\mathrm{e}}^{\ln y}\right)=y.$$

La densité. On dérive : $f_Y(y)=1$ pour $0<y<1$, et $0$ ailleurs.

Ce que cela signifie. $Y$ a donc pour densité la fonction constante $1$ sur $[0,1]$ : la transformée ${\mathrm{e}}^{-X}$ d'une variable de densité ${\mathrm{e}}^{-t}$ est répartie uniformément sur $[0,1]$, sans aucune valeur privilégiée.

Espérance et variance. $$E(Y)={\int }_0^{1}y\mathrm{d}y=\frac{1}{2},{\int }_0^1{y}^2\mathrm{d}y=\frac{1}{3},V(Y)=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}\approx 0,0833.$$

Le point délicat. Le renversement de l'inégalité en passant au logarithme, puis la simplification ${\mathrm{e}}^{\ln y}=y$, qui n'est licite que parce que $y>0$. Ce résultat est aussi la recette inverse de celle des simulations : à partir d'un tirage uniforme $U$, la quantité $-\ln U$ a pour densité ${\mathrm{e}}^{-t}$.