Une parabole renversée

Les trois conditions. Il faut $f$ positive, continue sauf en un nombre fini de points, et d'intégrale $1$ sur $\mathbb{R}$.

L'aire totale. Les morceaux extérieurs sont nuls. Sur $[-1,1]$ : $${\int }_{-1}^1\left(1-t^2\right)\mathrm{d}t={\left[t-\frac{t^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}.$$ Donc ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f=\frac{4c}{3}$, et l'égalité $\frac{4c}{3}=1$ donne $c=\frac{3}{4}$.

Positivité. Avec $c=\frac{3}{4}>0$ et $1-t^2\ge 0$ pour $t\in [-1,1]$, la fonction est bien positive ; elle est continue partout sauf en $-1$ et $1$, où elle saute à $0$. C'est une densité.

La probabilité demandée. C'est l'aire entre $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ : $$P\left(-\frac{1}{2}\le X\le \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}{\left[t-\frac{t^3}{3}\right]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{3}{4}\times 2\times \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{24}\right)=\frac{3}{4}\times \frac{11}{12}=\frac{11}{16}=0,6875.$$

L'espérance. $E(X)={\int }_{-1}^1\frac{3}{4}t\left(1-t^2\right)\mathrm{d}t=\frac{3}{4}{\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{4}\right]}_{-1}^1=0$, les deux bornes donnant la même valeur. C'était prévisible : la densité est paire, donc symétrique autour de $0$.

Le point délicat. La valeur $c=\frac{3}{4}$ dépasse... rien du tout : une densité peut prendre des valeurs supérieures à $1$ sans difficulté, seules les aires sont des probabilités.