Une répartition à construire, puis une médiane

La fonction de répartition. Par définition $F_X(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$, et l'on traite les trois zones.

Si $x<0$ : l'intégrande est nul, donc $F_X(x)=0$.

Si $0\le x\le 1$ : le morceau de gauche est nul, et $$F_X(x)={\int }_0^{x}3t^2\mathrm{d}t=[t^3{]}_0^x=x^3.$$

Si $x>1$ : $F_X(x)={\int }_0^{1}3t^2\mathrm{d}t=1$.

Contrôle. $F_X$ est continue (en $0$ elle vaut $0$, en $1$ elle vaut $1$), croissante, comprise entre $0$ et $1$.

La médiane. C'est le réel $m$ tel que $F_X(m)=\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $$m^3=\frac{1}{2},\text{donc}m=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx 0,794.$$

Lecture. La médiane est nettement au-dessus du milieu $0,5$ de l'intervalle : la densité $3t^2$ est bien plus haute près de $1$ que près de $0$, donc la moitié de la masse ne s'accumule que tardivement.