Une répartition affine par morceaux

Continuité. Sur chaque morceau $F$ est affine donc continue ; il reste les recollements. En $0$ : $\frac{0}{2}=0$, qui prolonge la valeur $0$ de gauche. En $1$ : à gauche $\frac{1}{2}$, à droite $\frac{1+1}{4}=\frac{1}{2}$ — les deux coïncident. En $3$ : $\frac{3+1}{4}=1$, qui prolonge la valeur $1$ de droite. Donc $F$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Croissance et limites. Les pentes valent $\frac{1}{2}$ sur $[0,1[$ et $\frac{1}{4}$ sur $[1,3]$, toutes deux positives, et $F$ est constante ailleurs : $F$ est croissante. Enfin $F\to 0$ en $-\infty$ et $F\to 1$ en $+\infty$, et $F$ est à valeurs dans $[0,1]$.

La densité. En tout point où $F$ est dérivable, la densité est $f=F^{\prime }$ : $$f(t)=\frac{1}{2}\text{ si }0\le t<1,f(t)=\frac{1}{4}\text{ si }1\le t\le 3,f(t)=0\text{ sinon.}$$ Les points $t=0$, $t=1$ et $t=3$ sont en nombre fini, donc sans importance.

Contrôle. Cette fonction est positive, et son aire vaut $\frac{1}{2}\times 1+\frac{1}{4}\times 2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ : c'est bien une densité, et $F$ est la fonction de répartition d'une variable qui l'admet.

La probabilité demandée. $$P(0,5\le X\le 2)=F(2)-F(0,5)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

Lecture. La variable passe la moitié de sa masse sur $[0,1]$, qui est deux fois plus court que $[1,3]$ : la densité y est deux fois plus haute, et l'aire s'équilibre.