Une transformée décroissante

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 8 — Variables aléatoires à densité · Densité d'une transformée

Énoncé

Soit $X$ de densité $f (t) = \frac{t}{2}$ sur $[0, 2]$ , nulle ailleurs, dont la fonction de répartition vaut $F_{X} (x) = \frac{x ^{2}}{4}$ sur $[0, 2]$ . On pose $Y = 2 - X$ . Déterminer la fonction de répartition de $Y$ , puis sa densité, puis $E (Y)$ .

Corrigé

Les valeurs. $X$ parcourt $[0, 2]$ , donc $Y = 2 - X$ parcourt $[0, 2]$ aussi.

Répartition. Pour $0 \leq y \leq 2$ :

$F_{Y} (y) = P (2 - X \leq y) = P (X \geq 2 - y) = 1 - F_{X} (2 - y) = 1 - \frac{( 2 - y ) ^{2}}{4} .$

Et $F_{Y} (y) = 0$ si $y < 0$ , $F_{Y} (y) = 1$ si $y > 2$ .

Le point délicat. $2 - X \leq y$ équivaut à $X \geq 2 - y$ : multiplier par $- 1$ retourne le sens de l'inégalité. C'est la seule faute possible ici, et elle donnerait une densité négative.

Densité. On dérive sur $] 0, 2 [$ :

$f_{Y} (y) = - \frac{2 ( 2 - y ) \times ( - 1 )}{4} = \frac{2 - y}{2},$

et $f_{Y} (y) = 0$ ailleurs.

Contrôle. $\int_{0}^{2} \frac{2 - y}{2} d y = [y - \frac{y ^{2}}{4}]_{0}^{2} = 2 - 1 = 1$ : c'est bien une densité, et elle est positive sur $] 0, 2 [$ .

Espérance.

$E (Y) = \int_{0}^{2} y \frac{2 - y}{2} d y = [\frac{y ^{2}}{2} - \frac{y ^{3}}{6}]_{0}^{2} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} .$

On retrouve $2 - E (X) = \frac{2}{3}$ : la linéarité de l'espérance tient aussi ici.

Le point à retenir. La densité de $Y$ est le miroir de celle de $X$ : la droite montante devient descendante. On ne l'a pourtant jamais transformée directement — on est passé par $F_{Y}$ , puis on a dérivé.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.