Une transformée décroissante

Les valeurs. $X$ parcourt $[0,2]$, donc $Y=2-X$ parcourt $[0,2]$ aussi.

Répartition. Pour $0\le y\le 2$ :

$$F_Y(y)=P(2-X\le y)=P(X\ge 2-y)=1-F_X(2-y)=1-\frac{(2-y{)}^2}{4}.$$

Et $F_Y(y)=0$ si $y<0$, $F_Y(y)=1$ si $y>2$.

Le point délicat. $2-X\le y$ équivaut à $X\ge 2-y$ : multiplier par $-1$ retourne le sens de l'inégalité. C'est la seule faute possible ici, et elle donnerait une densité négative.

Densité. On dérive sur $\left]0,2\right[$ :

$$f_Y(y)=-\frac{2(2-y)\times (-1)}{4}=\frac{2-y}{2},$$

et $f_Y(y)=0$ ailleurs.

Contrôle. ${\int }_0^2\frac{2-y}{2}\mathrm{d}y={\left[y-\frac{y^2}{4}\right]}_0^2=2-1=1$ : c'est bien une densité, et elle est positive sur $\left]0,2\right[$.

Espérance.

$$E(Y)={\int }_0^{2}y\frac{2-y}{2}\mathrm{d}y={\left[\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{6}\right]}_0^2=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3}.$$

On retrouve $2-E(X)=\frac{2}{3}$ : la linéarité de l'espérance tient aussi ici.

Le point à retenir. La densité de $Y$ est le miroir de celle de $X$ : la droite montante devient descendante. On ne l'a pourtant jamais transformée directement — on est passé par $F_Y$, puis on a dérivé.