Une variable à densité qui n'a pas d'espérance

$F$ est bien une fonction de répartition. Elle est continue sur $\mathbb{R}$ : en $0$, $\frac{0}{1}=0$. Pour $x\ge 0$ on écrit $F(x)=1-\frac{1}{1+x}$, forme sur laquelle la croissance se lit immédiatement, ainsi que la limite $1$ en $+\infty$ ; et $F\to 0$ en $-\infty$, avec $0\le F\le 1$.

La densité. En dérivant morceau par morceau : $$f(t)=F^{\prime }(t)=\frac{1}{(1+t{)}^2}\text{ pour }t>0,f(t)=0\text{ pour }t<0.$$ Elle est positive, continue sauf en $0$, et ${\int }_0^x\frac{\mathrm{d}t}{(1+t{)}^2}=1-\frac{1}{1+x}\to 1$ : c'est bien une densité.

L'espérance. Par définition, elle existe si ${\int }_{-\infty }^{+\infty }tf(t)\mathrm{d}t$ converge. Le morceau de gauche est nul. À droite, on réécrit $t=(1+t)-1$ : $$\frac{t}{(1+t{)}^2}=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t{)}^2}.$$ Une primitive est donc $\ln (1+t)+\frac{1}{1+t}$, et pour $x>0$ : $${\int }_0^{x}tf(t)\mathrm{d}t={\left[\ln (1+t)+\frac{1}{1+t}\right]}_0^x=\ln (1+x)+\frac{1}{1+x}-1.$$

La limite. Quand $x\to +\infty$, $\frac{1}{1+x}\to 0$ mais $\ln (1+x)\to +\infty$. L'expression tend donc vers $+\infty$ : l'intégrale diverge, et $X$ n'a pas d'espérance.

Le point délicat. « Lorsque l'intégrale converge » n'est pas une précaution de style dans la définition de l'espérance. Ici la densité est parfaitement légitime — aire totale $1$ — mais sa décroissance en $1/t^2$ est trop lente pour que la moyenne existe : les très grandes valeurs, bien que rares, pèsent trop lourd.