Combien de composants passeront le cap

La probabilité individuelle. Pour un composant de durée $X$ de loi $\mathcal{E}\left(\frac{1}{5}\right)$ : $$p=P(X>5)={\mathrm{e}}^{-5/5}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,3679.$$

La loi de $N$. À chaque composant on associe la variable valant $1$ s'il dépasse $5$ ans et $0$ sinon : c'est une variable de Bernoulli de paramètre $p$. Les vingt composants sont indépendants et jouent le même rôle, donc $N$, qui compte les succès, suit la loi binomiale $$N\hookrightarrow \mathcal{B}\left(20;{\mathrm{e}}^{-1}\right).$$

Espérance et variance. Les formules de la loi binomiale donnent $$E(N)=20{\mathrm{e}}^{-1}\approx 7,36,V(N)=20{\mathrm{e}}^{-1}\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)\approx 20\times 0,3679\times 0,6321\approx 4,65,$$ soit $\sigma (N)\approx 2,16$.

La probabilité qu'aucun ne tienne. $$P(N=0)=(1-p{)}^{20}={\left(1-{\mathrm{e}}^{-1}\right)}^{20}=0,6321^{20}\approx 1,0\times 10^{-4}.$$ Autrement dit, la probabilité qu'au moins un composant dépasse cinq ans vaut environ $0,9999$.

Le point délicat. Deux modèles se rencontrent ici, et il faut les tenir séparés : la durée de vie d'un composant est à densité, tandis que le nombre de composants qui franchissent un cap est discret. Le pont entre les deux est la probabilité $p$, calculée une fois pour toutes sur la loi exponentielle.