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Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi normale

Énoncé

La masse $X$ , en grammes, des pièces d'un lot suit $N (250; 9)$ . Calculer la proportion de pièces dont la masse est comprise entre $244$ et $256$ g, celle des pièces de moins de $247$ g, puis le seuil $a$ tel que $P (X > a) = 0, 05$ .

Corrigé

L'écart-type. $σ = 9 = 3$ g.

Dans la tolérance. $244 = 250 - 2 σ$ et $256 = 250 + 2 σ$ , donc

$P (244 \leq X \leq 256) = 2Φ (2) - 1 \approx 0, 954,$

soit $95, 4 %$ des pièces.

Trop légères. $247 = 250 - σ$ , donc $P (X < 247) = Φ (- 1) = 1 - Φ (1) \approx 0, 1587$ , soit $15, 9 %$ .

Le seuil. $P (X > a) = 0, 05$ équivaut à $Φ (\frac{a - 250}{3}) = 0, 95$ . La table donne $\frac{a - 250}{3} = 1, 645$ , d'où

$a = 250 + 1, 645 \times 3 \approx 254, 9 g .$

Lecture. Une pièce sur vingt dépasse $254, 9$ g. Si le cahier des charges impose $254$ g, ce n'est pas le seuil qu'il faut déplacer : c'est $σ$ qu'il faut réduire.

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