Deux écarts-types autour de la moyenne

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi normale

Énoncé

La demande mensuelle $X$ d'un produit suit $N (1000; 2500)$ . Calculer $P (X > 1100)$ et $P (900 \leq X \leq 1100)$ , puis interpréter le second résultat. On donne $Φ (2) = 0, 9772$ .

Corrigé

L'écart-type. $σ^{2} = 2500$ donc $σ = 50$ , et $m = 1000$ .

Première probabilité. $\frac{1100 - 1000}{50} = 2$ , donc $P (X > 1100) = 1 - Φ (2) = 1 - 0, 9772 = 0, 0228.$

Seconde probabilité. $\frac{900 - 1000}{50} = - 2$ , donc $P (900 \leq X \leq 1100) = Φ (2) - Φ (- 2) = 2Φ (2) - 1 = 2 \times 0, 9772 - 1 = 0, 9544.$

Interprétation. L'intervalle $[900, 1100]$ est exactement $[m - 2 σ, m + 2 σ]$ : il contient environ $95, 4 %$ de la masse. Ce nombre ne dépend ni de $m$ ni de $σ$ — il est le même pour toutes les lois normales, et c'est ce qui rend la table de $Φ$ suffisante.

Contrôle. Les deux queues, de $0, 0228$ chacune, complètent bien $0, 9544$ à $1$ .

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