Deux machines et une tolérance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · Comparer les lois et choisir un modèle

Énoncé

Deux machines remplissent des flacons. La masse délivrée par la première suit $N (250; 4)$ , celle de la seconde $N (251; 1)$ . La tolérance est $[248; 253]$ grammes. Calculer pour chacune la proportion de flacons dans la tolérance, et conclure. On donne $Φ (1) = 0, 8413$ , $Φ (1, 5) = 0, 9332$ , $Φ (2) = 0, 9772$ et $Φ (3) = 0, 9987$ .

Corrigé

Première machine. $σ = 4 = 2$ grammes. Les bornes de la tolérance deviennent $\frac{248 - 250}{2} = - 1$ et $\frac{253 - 250}{2} = 1, 5$ , donc

$P (248 \leq X \leq 253) = Φ (1, 5) - Φ (- 1) = 0, 9332 - (1 - 0, 8413) = 0, 9332 - 0, 1587 = 0, 7745,$

soit $77, 5 %$ des flacons.

Seconde machine. $σ = 1 = 1$ gramme. Les bornes deviennent $\frac{248 - 251}{1} = - 3$ et $\frac{253 - 251}{1} = 2$ , donc

$P (248 \leq X \leq 253) = Φ (2) - Φ (- 3) = 0, 9772 - (1 - 0, 9987) = 0, 9772 - 0, 0013 = 0, 9759,$

soit $97, 6 %$ des flacons.

Conclusion. La seconde machine laisse $2, 4 %$ de rebut contre $22, 5 %$ . Elle n'est pourtant pas mieux centrée : le milieu de la tolérance est $250, 5$ , dont les deux machines s'écartent de $0, 5$ gramme. Tout l'écart vient de $σ$ , deux fois plus petit.

Le point à retenir. À tolérance fixée, la régularité pèse davantage que le réglage du centre. Et deux lois normales ne se comparent qu'après standardisation, jamais sur leurs paramètres bruts.

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