Durée de vie et médiane

Lois à densité usuelles · La loi exponentielle · niveau 2

Énoncé

La durée de vie $X$ , en années, d'un équipement suit $E (\frac{1}{8})$ . Calculer $P (X > 10)$ , la médiane de $X$ , et $P (X \leq 4)$ . Comparer médiane et espérance.

Corrigé

Survie à dix ans. $P (X > 10) = e^{- 10/8} = e^{- 1, 25} \approx 0, 287$ .

Médiane. On résout $1 - e^{- m /8} = \frac{1}{2}$ , soit $e^{- m /8} = \frac{1}{2}$ , donc

$m = 8 ln 2 \approx 5, 545 ans .$

Panne dans les quatre ans. $P (X \leq 4) = 1 - e^{- 0, 5} \approx 0, 393$ .

Comparaison. $E (X) = 8$ ans, médiane $5, 55$ ans. La moitié des équipements cassent avant $5, 5$ ans, alors que la moyenne annonce $8$ : la loi est très dissymétrique, et communiquer la seule moyenne serait trompeur.

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