La proportion qui dépasse la moyenne

Ce que l'on montre. Que ces deux probabilités sont les mêmes pour toutes les lois exponentielles, quel que soit le paramètre.

Les outils. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ : $E(X)=\frac{1}{\lambda }$ et, pour tout $x\ge 0$, $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$.

La première probabilité. En prenant $x=E(X)=\frac{1}{\lambda }$ : $$P(X>E(X))={\mathrm{e}}^{-\lambda \times \frac{1}{\lambda }}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$ Le paramètre $\lambda$ s'est simplifié : la valeur ne dépend pas de lui.

La seconde. De même, avec $x=\frac{2}{\lambda }$ : $$P(X>2E(X))={\mathrm{e}}^{-\lambda \times \frac{2}{\lambda }}={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$

Commentaire. Environ $63\%$ des observations sont en dessous de la moyenne. C'est frappant, et c'est propre aux lois très dissymétriques : la moyenne n'est pas le point qui coupe la population en deux. Ce rôle revient à la médiane, qui vaut ici $\frac{\ln 2}{\lambda }\approx \frac{0,693}{\lambda }$, soit environ $69\%$ de la moyenne seulement.

Lecture de gestion. Annoncer « la durée de vie moyenne est de dix ans » laisse croire qu'un matériel sur deux tient dix ans ; en réalité, seul un sur trois environ y parvient. Le chiffre à communiquer est la médiane, ou un quantile.