Le dernier des deux passages

Traduire le maximum. Le dernier passage a lieu avant l'instant $t$ si et seulement si les deux ont eu lieu avant $t$ : $$[M\le t]=[X\le t]\cap [Y\le t].$$

La fonction de répartition. Les deux variables sont indépendantes, donc $$F_M(t)=P(X\le t)P(Y\le t)=F_X(t)F_Y(t).$$ Pour $8\le t\le 10$, $F_X(t)=F_Y(t)=\frac{t-8}{2}$, d'où $$F_M(t)={\left(\frac{t-8}{2}\right)}^2=\frac{(t-8{)}^2}{4},$$ avec $F_M(t)=0$ pour $t<8$ et $F_M(t)=1$ pour $t>10$.

Contrôle. En $t=8$ on trouve $0$, en $t=10$ on trouve $1$, et la fonction est croissante sur $[8,10]$ : c'est bien une fonction de répartition.

La densité. On dérive : $f_M(t)=\frac{2(t-8)}{4}=\frac{t-8}{2}$ pour $8<t<10$, et $0$ ailleurs.

L'espérance. En écrivant $t=(t-8)+8$ : $$E(M)={\int }_8^{10}t\frac{t-8}{2}\mathrm{d}t={\int }_8^{10}\frac{(t-8{)}^2}{2}\mathrm{d}t+8{\int }_8^{10}\frac{t-8}{2}\mathrm{d}t.$$ La première intégrale vaut ${\left[\frac{(t-8{)}^3}{6}\right]}_8^{10}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ ; la seconde $8\times {\left[\frac{(t-8{)}^2}{4}\right]}_8^{10}=8\times 1=8$. Donc $$E(M)=8+\frac{4}{3}=\frac{28}{3}\approx 9,33,$$ c'est-à-dire environ $9$ h $20$.

La dernière probabilité. $P(M\le 9)=\frac{(9-8{)}^2}{4}=\frac{1}{4}=0,25$. Chaque transporteur, pris seul, passe avant $9$ h une fois sur deux ; il faut que les deux le fassent, d'où $0,5\times 0,5$.

Lecture. L'heure moyenne du dernier passage, $9$ h $20$, est bien plus tardive que celle d'un passage isolé, $9$ h : attendre le dernier des deux coûte vingt minutes.