Le premier des deux composants à lâcher

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · Comparer les lois et choisir un modèle

Énoncé

Un système de deux composants montés en série tombe en panne dès que l'un des deux lâche. Leurs durées de vie $X$ et $Y$ , en années, sont indépendantes et suivent $E (\frac{1}{4})$ et $E (\frac{1}{6})$ . On note $M$ la plus petite des deux. Déterminer $P (M > t)$ pour $t \geq 0$ , reconnaître la loi de $M$ , puis calculer $E (M)$ .

Corrigé

Traduire l'événement. Le système tient au-delà de $t$ si et seulement si les deux composants tiennent au-delà de $t$ :

$[M > t] = [X > t] \cap [Y > t] .$

Utiliser l'indépendance. Elle transforme cette intersection en produit :

$P (M > t) = P (X > t) P (Y > t) = e^{- t /4} \times e^{- t /6} = e^{- t (\frac{1}{4} + \frac{1}{6})} = e^{- \frac{5 t}{12}} .$

Reconnaître la loi. Pour $t \geq 0$ , $F_{M} (t) = 1 - P (M > t) = 1 - e^{- \frac{5}{12} t}$ , et $F_{M} (t) = 0$ pour $t < 0$ : c'est exactement la fonction de répartition d'une loi exponentielle. Donc $M ↪ E (\frac{5}{12})$ .

L'espérance. $E (M) = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} = 2, 4$ ans.

Lecture. Les composants vivent en moyenne $4$ et $6$ ans ; le système, $2, 4$ ans seulement — moins que le plus fragile des deux. C'est le prix du montage en série.

Le point à retenir. Pour un minimum, on travaille avec $P (M > t)$ et non avec $F_{M}$ : c'est la forme « les deux tiennent » qui devient un produit sous l'indépendance. Et les paramètres s'ajoutent.

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