Le second des deux composants à lâcher

Traduire le maximum. Le système est tombé avant l'instant $t$ si et seulement si les deux composants ont lâché avant $t$ : $[M\le t]=[X\le t]\cap [Y\le t]$.

La fonction de répartition. Par indépendance, pour $t\ge 0$ : $$F_M(t)=F_X(t)F_Y(t)={\left(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\right)}^2,$$ et $F_M(t)=0$ pour $t<0$. Elle est croissante, nulle en $0$, de limite $1$ en $+\infty$ : c'est bien une fonction de répartition.

La densité. On dérive, pour $t>0$ : $$f_M(t)=2\left(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda t}\right)\times \lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}=2\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda t}-2\lambda {\mathrm{e}}^{-2\lambda t}.$$

L'espérance. On utilise le résultat du chapitre $7$, ${\int }_0^{+\infty }t{\mathrm{e}}^{-at}\mathrm{d}t=\frac{1}{a^2}$ pour $a>0$. Les deux intégrales convergeant séparément, on peut les retrancher : $$E(M)=2\lambda \times \frac{1}{{\lambda }^2}-2\lambda \times \frac{1}{(2\lambda {)}^2}=\frac{2}{\lambda }-\frac{1}{2\lambda }=\frac{3}{2\lambda }.$$

Application. Pour $\lambda =\frac{1}{2}$ : chaque composant a une durée de vie moyenne $1/\lambda =2$ ans, et le système tient en moyenne $E(M)=\frac{3}{2\times 0,5}=3$ ans. De plus $$P(M>3)=1-{\left(1-{\mathrm{e}}^{-1,5}\right)}^2=1-(1-0,223{)}^2=1-0,604=0,396.$$

Le point délicat. Doubler le nombre de composants ne double pas la durée de vie : on gagne $50\%$, pas $100\%$. Le second composant ne sert que sur la part du temps où le premier a déjà lâché.