Le stock qui évite la rupture

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · Comparer les trois lois

Énoncé

La demande hebdomadaire $X$ d'un article, en unités, suit $N (400; 900)$ . Déterminer le stock $s$ à constituer pour que la probabilité de rupture, $P (X > s)$ , ne dépasse pas $5 %$ . Calculer aussi la probabilité de rupture pour un stock de $430$ . On donne $Φ (1, 645) = 0, 95$ et $Φ (1) = 0, 8413$ .

Corrigé

L'écart-type. $σ^{2} = 900$ donc $σ = 30$ , et $m = 400$ .

La condition à traduire. On veut $P (X > s) \leq 0, 05$ , c'est-à-dire $1 - Φ (\frac{s - 400}{30}) \leq 0, 05 ⟺ Φ (\frac{s - 400}{30}) \geq 0, 95.$

Résolution. La table donne $Φ (1, 645) = 0, 95$ , et $Φ$ est strictement croissante, donc la condition équivaut à $\frac{s - 400}{30} \geq 1, 645 ⟹ s \geq 400 + 1, 645 \times 30 = 449, 35.$ Le stock étant un nombre entier d'unités, on prend $s = 450$ .

La rupture avec un stock de $430$ . $\frac{430 - 400}{30} = 1$ , donc $P (X > 430) = 1 - Φ (1) = 1 - 0, 8413 = 0, 1587,$ soit près de $16 %$ de semaines en rupture.

Lecture de gestion. Passer d'un taux de rupture de $16 %$ à $5 %$ coûte $450 - 430 = 20$ unités de stock supplémentaires, soit à peine $5 %$ du stock moyen : la sécurité se paie ici assez peu cher. Mais la marche suivante est plus raide — descendre à $1 %$ demanderait $400 + 2, 33 \times 30 \approx 470$ unités.

Le point délicat. Le stock de sécurité, $s - m$ , est un multiple de l'écart-type et ne dépend pas de la moyenne : c'est la dispersion de la demande, non son niveau, qui commande le sur-stock.

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