Médiane et moyenne d'une durée de vie

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi exponentielle

Énoncé

La durée de vie $X$ , en années, d'un composant suit $E (0, 5)$ . Calculer $E (X)$ , $P (X > 4)$ et la médiane de $X$ , puis comparer médiane et moyenne. On donne $ln 2 \approx 0, 693$ .

Corrigé

L'espérance. $E (X) = \frac{1}{0 , 5} = 2$ ans.

La survie à quatre ans. $P (X > 4) = e^{- 0, 5 \times 4} = e^{- 2} \approx 0, 135.$ Un composant sur sept environ dépasse quatre ans.

La médiane. C'est le réel $m > 0$ tel que $F_{X} (m) = \frac{1}{2}$ : $1 - e^{- 0, 5 m} = \frac{1}{2} ⟺ e^{- 0, 5 m} = \frac{1}{2} ⟺ - 0, 5 m = - ln 2,$ le logarithme étant strictement croissant. D'où $m = 2 ln 2 \approx 1, 386 an .$

La comparaison. La médiane, $1, 39$ an, est nettement inférieure à la moyenne, $2$ ans : la moitié des composants lâchent avant un an et demi, mais quelques durées de vie très longues tirent la moyenne vers le haut. Le rapport $\frac{m}{E ( X )} = ln 2 \approx 0, 693$ est d'ailleurs le même pour toutes les lois exponentielles.

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