Médiane et moyenne d'une durée de vie

L'espérance. $E(X)=\frac{1}{0,5}=2$ ans.

La survie à quatre ans. $$P(X>4)={\mathrm{e}}^{-0,5\times 4}={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135.$$ Un composant sur sept environ dépasse quatre ans.

La médiane. C'est le réel $m>0$ tel que $F_X(m)=\frac{1}{2}$ : $$1-{\mathrm{e}}^{-0,5m}=\frac{1}{2}⟺{\mathrm{e}}^{-0,5m}=\frac{1}{2}⟺-0,5m=-\ln 2,$$ le logarithme étant strictement croissant. D'où $$m=2\ln 2\approx 1,386\text{an}.$$

La comparaison. La médiane, $1,39$ an, est nettement inférieure à la moyenne, $2$ ans : la moitié des composants lâchent avant un an et demi, mais quelques durées de vie très longues tirent la moyenne vers le haut. Le rapport $\frac{m}{E(X)}=\ln 2\approx 0,693$ est d'ailleurs le même pour toutes les lois exponentielles.