Retrouver l'écart-type

Traduire l'information. En standardisant, $$P(X>115)=1-\Phi \left(\frac{115-100}{\sigma }\right)=1-\Phi \left(\frac{15}{\sigma }\right)=0,0668,$$ donc $\Phi \left(\frac{15}{\sigma }\right)=0,9332$.

Lire la table à l'envers. La table donne $\Phi (1,5)=0,9332$, et $\Phi$ est strictement croissante donc injective : l'antécédent est unique. Ainsi $$\frac{15}{\sigma }=1,5⟹\sigma =10.$$ La loi de $X$ est donc $\mathcal{N}(100;100)$.

La première probabilité. $\frac{110-100}{10}=1$ et $\frac{85-100}{10}=-1,5$, donc $$P(85\le X\le 110)=\Phi (1)-\Phi (-1,5)=0,8413-(1-0,9332)=0,8413-0,0668=0,7745.$$

La seconde. $\frac{80-100}{10}=-2$, donc $$P(X<80)=\Phi (-2)=1-\Phi (2)=0,0228.$$

Contrôle. Avec $\sigma =10$, l'intervalle $[80,120]$ est $[m-2\sigma ,m+2\sigma ]$, et il doit contenir environ $95,4\%$ de la masse : $2\Phi (2)-1=0,9544$. La valeur $0,0228$ trouvée pour la queue gauche en est bien la moitié du complément, ce qui confirme $\sigma$.

Le point délicat. L'inconnue est au dénominateur du quotient standardisé ; on la dégage seulement après avoir lu la table à l'envers, et non l'inverse.