Retrouver le paramètre d'une exponentielle

Le paramètre. Pour une loi exponentielle, $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$, donc ${\mathrm{e}}^{-10\lambda }=0,2=\frac{1}{5}$, c'est-à-dire ${\mathrm{e}}^{10\lambda }=5$ et

$$10\lambda =\ln 5⟹\lambda =\frac{\ln 5}{10}\approx 0,161\text{ par minute}.$$

Durée moyenne. $E(X)=\frac{1}{\lambda }=\frac{10}{\ln 5}\approx 6,22$ minutes.

Médiane. On résout $1-{\mathrm{e}}^{-\lambda m}=\frac{1}{2}$, soit ${\mathrm{e}}^{-\lambda m}=\frac{1}{2}$ :

$$m=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{10\ln 2}{\ln 5}\approx 4,31\text{ minutes}.$$

La probabilité demandée. Il n'est pas nécessaire de repasser par $\lambda$ :

$$P(5\le X\le 10)=P(X>5)-P(X>10)={\mathrm{e}}^{-5\lambda }-0,2.$$

Or ${\mathrm{e}}^{-5\lambda }={\left({\mathrm{e}}^{-10\lambda }\right)}^{1/2}=\sqrt{0,2}\approx 0,447$. Donc $P(5\le X\le 10)\approx 0,447-0,2=0,247$.

Contrôle. La médiane, $4,31$ minutes, est inférieure à la moyenne, $6,22$ : c'est toujours le cas pour une loi exponentielle, dont quelques appels très longs tirent la moyenne vers le haut.

Le point à retenir. Une seule probabilité observée suffit à identifier $\lambda$, la loi n'ayant qu'un paramètre ; et ${\mathrm{e}}^{-5\lambda }$ se déduit de ${\mathrm{e}}^{-10\lambda }$ par une racine carrée.