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Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi normale

Énoncé

Soit $X ↪ N (m; 4)$ , où $m$ est inconnu. On sait que $P (X \leq 12) = 0, 9772$ . Déterminer $m$ , puis calculer $P (X \geq 6)$ et $P (4 \leq X \leq 10)$ . On donne $Φ (1) = 0, 8413$ , $Φ (2) = 0, 9772$ .

Corrigé

L'écart-type. $σ = 4 = 2$ .

Standardisation. $P (X \leq 12) = Φ (\frac{12 - m}{2}) = 0, 9772$ . La table donne $Φ (2) = 0, 9772$ , donc

$\frac{12 - m}{2} = 2 ⟹ m = 12 - 4 = 8 .$

Au-delà de 6. $6 = 8 - σ$ , donc

$P (X \geq 6) = 1 - Φ (- 1) = Φ (1) = 0, 8413.$

Entre 4 et 10. $4 = m - 2 σ$ et $10 = m + σ$ , donc

$P (4 \leq X \leq 10) = Φ (1) - Φ (- 2) = Φ (1) - (1 - Φ (2)) = 0, 8413 - 0, 0228 = 0, 8185 .$

Contrôle. L'intervalle $[4, 10]$ va de $- 2 σ$ à $+ σ$ : sa probabilité doit tomber entre $0, 683$ et $0, 954$ , et être proche du $0, 8186$ trouvé plus haut pour un intervalle de même forme. C'est bien le cas : l'écart tient à l'arrondi de la table.

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