Standardiser deux fois dans le même calcul

L'écart-type. Le second paramètre est la variance : ${\sigma }^2=100$, donc $\sigma =10$ et $m=60$.

Standardiser. Pour tout réel $\alpha$, $P(X\le \alpha )=\Phi \left(\frac{\alpha -60}{10}\right)$.

Première probabilité. $\frac{75-60}{10}=1,5$, donc $$P(X\ge 75)=1-\Phi (1,5)=1-0,9332=0,0668.$$

Deuxième probabilité. $\frac{72-60}{10}=1,2$ et $\frac{45-60}{10}=-1,5$, donc $$P(45\le X\le 72)=\Phi (1,2)-\Phi (-1,5).$$ La table ne donne pas $\Phi (-1,5)$ ; on utilise la symétrie $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ : $\Phi (-1,5)=1-0,9332=0,0668$. D'où $$P(45\le X\le 72)=0,8849-0,0668=0,8181.$$

Troisième probabilité. $\frac{40-60}{10}=-2$, donc $$P(X\le 40)=\Phi (-2)=1-\Phi (2)=1-0,9772=0,0228.$$

Contrôle de vraisemblance. Les trois zones $]-\infty ,45[$, $[45,72]$ et $]72,+\infty [$ se partagent tout : leurs probabilités valent respectivement $0,0668$, $0,8181$ et $1-\Phi (1,2)=0,1151$, dont la somme fait $1$ exactement. Cela vérifie du même coup les deux lectures de table.