Standardiser

L'écart-type. $\sigma =\sqrt{25}=5$ ; attention, le second paramètre est la variance.

Première probabilité.

$$P(X\le 25)=\Phi \left(\frac{25-20}{5}\right)=\Phi (1)=0,8413.$$

Seconde.

$$P(15\le X\le 30)=\Phi \left(\frac{30-20}{5}\right)-\Phi \left(\frac{15-20}{5}\right)=\Phi (2)-\Phi (-1).$$

Or $\Phi (-1)=1-\Phi (1)=0,1587$, donc $P(15\le X\le 30)=0,9772-0,1587=0,8185$.

Contrôle. L'intervalle $[15,30]$ va de $-1\sigma$ à $+2\sigma$ : sa probabilité doit être comprise entre $0,683$ (bande $\pm \sigma$) et $0,954$ (bande $\pm 2\sigma$). C'est le cas.