Standardiser une masse

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi normale

Énoncé

La masse $X$ , en grammes, d'un article suit $N (30; 16)$ . Calculer $P (X \leq 34)$ et $P (26 \leq X \leq 38)$ . On donne $Φ (1) = 0, 8413$ et $Φ (2) = 0, 9772$ .

Corrigé

L'écart-type. Le second paramètre est la variance : $σ^{2} = 16$ donc $σ = 4$ , et $m = 30$ .

Standardiser. Pour tout réel $α$ , $P (X \leq α) = Φ (\frac{α - 30}{4})$ .

Première probabilité. $\frac{34 - 30}{4} = 1$ , donc $P (X \leq 34) = Φ (1) = 0, 8413.$

Seconde probabilité. $\frac{38 - 30}{4} = 2$ et $\frac{26 - 30}{4} = - 1$ , donc $P (26 \leq X \leq 38) = Φ (2) - Φ (- 1) .$ La symétrie $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ donne $Φ (- 1) = 1 - 0, 8413 = 0, 1587$ , d'où $P (26 \leq X \leq 38) = 0, 9772 - 0, 1587 = 0, 8185.$

Lecture. L'intervalle $[26, 38]$ s'étend d'un écart-type à gauche et de deux à droite ; il capte $82 %$ de la production, alors qu'un intervalle symétrique $[22, 38]$ en capterait $95, 4 %$ .

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