Trois lois de même moyenne, trois risques différents

Vérification des espérances. Uniforme : $\frac{0+20}{2}=10$. Exponentielle : $\frac{1}{0,1}=10$. Normale : $m=10$. Les trois délais ont bien la même moyenne.

Les écarts-types. $${\sigma }_{\mathcal{U}}=\frac{20-0}{\sqrt{12}}\approx 5,77,{\sigma }_{\mathcal{E}}=\frac{1}{0,1}=10,{\sigma }_{\mathcal{N}}=\sqrt{9}=3.$$

Les trois dépassements.

Uniforme : $P(X>15)=\frac{20-15}{20}=0,25$.

Exponentielle : $P(X>15)={\mathrm{e}}^{-0,1\times 15}={\mathrm{e}}^{-1,5}\approx 0,223$.

Normale : $\frac{15-10}{3}\approx 1,67$, donc $P(X>15)=1-\Phi (1,67)=1-0,9525=0,0475$.

Lecture de gestion. À moyenne égale, les trois modèles ne promettent pas du tout la même chose : un retard de plus de cinq jours touche un quart des livraisons dans le premier cas, un peu plus d'un cinquième dans le deuxième, et moins d'une sur vingt dans le troisième. C'est l'écart-type qui commande.

Le point délicat. Les deux premiers modèles se distinguent aussi par ce qu'ils autorisent : la loi uniforme ne dépasse jamais $20$ jours, alors que la loi exponentielle admet des délais arbitrairement longs — sa probabilité de dépasser $30$ jours vaut encore ${\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,05$. Choisir la loi, ce n'est donc pas seulement choisir une moyenne et une dispersion, c'est choisir ce que le modèle rend possible.