Trois situations, trois modèles

Première situation : loi uniforme. Aucun instant de la demi-heure n'est privilégié, et la fenêtre est bornée. Avec l'heure de départ $X$ comptée en minutes après midi, $X\hookrightarrow \mathcal{U}[0,30]$, et $$E(X)=\frac{0+30}{2}=15\text{minutes.}$$

Deuxième situation : loi exponentielle. On attend un événement qui peut survenir à tout instant, sans usure : c'est exactement ce que décrit la loi exponentielle. Sa moyenne étant $\frac{1}{\lambda }=8$ mois, on a $\lambda =\frac{1}{8}$ et $$X\hookrightarrow \mathcal{E}\left(\frac{1}{8}\right),E(X)=8\text{mois},\sigma (X)=8\text{mois eˊgalement.}$$

Troisième situation : loi normale. Une taille résulte de l'accumulation de beaucoup de petits facteurs, et sa distribution a la forme d'une cloche symétrique autour de la moyenne. Ici $$X\hookrightarrow \mathcal{N}(170;64),E(X)=170\text{cm},$$ le second paramètre étant la variance, soit $8^2=64$.

Ce qui distingue les trois. La loi uniforme n'admet aucune valeur hors de sa fenêtre ; la loi exponentielle n'admet que des valeurs positives et autorise des attentes arbitrairement longues ; la loi normale est symétrique et s'étend sur $\mathbb{R}$ tout entier. Choisir la loi, c'est d'abord regarder quel ensemble de valeurs la situation autorise.