Un bus qui passe sans horaire

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi uniforme

Énoncé

Un bus passe à un arrêt à un instant $X$ , en minutes après $7$ h, suivant la loi $U [0, 20]$ . Calculer l'attente moyenne d'un voyageur arrivé à $7$ h, la probabilité qu'il attende plus d'un quart d'heure, et la probabilité que le bus passe entre $7$ h $05$ et $7$ h $10$ .

Corrigé

Le modèle. $X ↪ U [0, 20]$ : la densité vaut $\frac{1}{20}$ sur $[0, 20]$ et $0$ ailleurs, et $F_{X} (x) = \frac{x}{20}$ pour $0 \leq x \leq 20$ .

L'attente moyenne. $E (X) = \frac{0 + 20}{2} = 10 minutes.$

Attendre plus d'un quart d'heure. $P (X > 15) = 1 - F_{X} (15) = 1 - \frac{15}{20} = \frac{1}{4} = 0, 25.$ Un voyageur sur quatre attend plus de quinze minutes.

Le passage entre $7$ h $05$ et $7$ h $10$ . $P (5 \leq X \leq 10) = \frac{10 - 5}{20} = \frac{1}{4} = 0, 25.$

Lecture. Les deux probabilités valent $0, 25$ , alors que les intervalles $[5, 10]$ et $] 15, 20]$ n'occupent pas la même place dans la fenêtre : pour une loi uniforme, seule la longueur compte, jamais la position. Enfin $σ (X) = \frac{20}{12} \approx 5, 8$ minutes : l'attente est très variable autour de ses dix minutes moyennes.

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