Un bus qui passe sans horaire

Le modèle. $X\hookrightarrow \mathcal{U}[0,20]$ : la densité vaut $\frac{1}{20}$ sur $[0,20]$ et $0$ ailleurs, et $F_X(x)=\frac{x}{20}$ pour $0\le x\le 20$.

L'attente moyenne. $$E(X)=\frac{0+20}{2}=10\text{minutes.}$$

Attendre plus d'un quart d'heure. $$P(X>15)=1-F_X(15)=1-\frac{15}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$ Un voyageur sur quatre attend plus de quinze minutes.

Le passage entre $7$ h $05$ et $7$ h $10$. $$P(5\le X\le 10)=\frac{10-5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$

Lecture. Les deux probabilités valent $0,25$, alors que les intervalles $[5,10]$ et $]15,20]$ n'occupent pas la même place dans la fenêtre : pour une loi uniforme, seule la longueur compte, jamais la position. Enfin $\sigma (X)=\frac{20}{\sqrt{12}}\approx 5,8$ minutes : l'attente est très variable autour de ses dix minutes moyennes.