Un intervalle centré à déterminer

L'écart-type. Le second paramètre est la variance : ${\sigma }^2=400$, donc $\sigma =20$ grammes.

Standardisation de l'intervalle centré. Comme l'intervalle est centré sur $m=1000$ :

$$P(1000-h\le X\le 1000+h)=\Phi \left(\frac{h}{20}\right)-\Phi \left(-\frac{h}{20}\right)=2\Phi \left(\frac{h}{20}\right)-1,$$

en utilisant $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$.

L'équation. $2\Phi \left(\frac{h}{20}\right)-1=0,90$ donne $\Phi \left(\frac{h}{20}\right)=0,95$, donc, d'après la table, $\frac{h}{20}=1,645$ et

$$h=20\times 1,645=32,9\text{ grammes}.$$

La seconde probabilité.

$$P(X<950)=\Phi \left(\frac{950-1000}{20}\right)=\Phi (-2,5)=1-\Phi (2,5)=1-0,9938=0,0062.$$

Lecture de gestion. Neuf sachets sur dix pèsent entre $967,1$ et $1032,9$ grammes ; et environ un sachet sur $160$ pèse moins de $950$ grammes, puisque $\frac{1}{0,0062}\approx 161$.

Le point à retenir. Un intervalle centré sur $m$ se traite avec la formule $2\Phi (x)-1$, et une question « quelle largeur pour telle probabilité ? » se lit dans la table à l'envers : on part de la valeur de $\Phi$ et l'on remonte à l'abscisse.