Un quart d'heure déjà écoulé

Sans information. La probabilité est un rapport de longueurs :

$$P(X>45)=\frac{60-45}{60}=\frac{15}{60}=0,25.$$

Avec l'information. De même $P(X>30)=\frac{30}{60}=0,5$. Comme l'événement $[X>45]$ est inclus dans $[X>30]$ :

$$P_{[X>30]}([X>45])=\frac{P(X>45)}{P(X>30)}=\frac{0,25}{0,5}=0,5.$$

La comparaison demandée. Attendre encore $15$ minutes après en avoir attendu $30$ a la probabilité $0,5$ ; attendre $15$ minutes dès le départ a la probabilité $P(X>15)=\frac{45}{60}=0,75$. Les deux nombres sont différents.

Interprétation. Le temps déjà écoulé renseigne : une fois $30$ minutes passées, l'attente restante ne peut plus dépasser une demi-heure, et elle se répartit uniformément sur $[0,30]$. La loi uniforme a donc une mémoire.

Le point à retenir. C'est exactement ce qui distingue la loi uniforme de la loi exponentielle : pour cette dernière, les deux nombres seraient égaux, quel que soit le temps déjà écoulé. Choisir entre les deux modèles, c'est décider si le passé renseigne ou non sur l'avenir.