Un seuil de rebut à fixer

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi normale

Énoncé

La masse $X$ , en grammes, d'une pièce suit $N (500; 25)$ . On rebute les pièces les plus légères, dans la proportion de $2, 5 %$ . Déterminer le seuil $a$ tel que $P (X < a) = 0, 025$ , puis calculer $P (X > 510)$ . On donne $Φ (1, 96) = 0, 9750$ et $Φ (2) = 0, 9772$ .

Corrigé

L'écart-type. $σ^{2} = 25$ donc $σ = 5$ , et $m = 500$ .

Le seuil. En standardisant, la condition s'écrit $Φ (\frac{a - 500}{5}) = 0, 025.$ La table donne $Φ (1, 96) = 0, 975$ , donc par symétrie $Φ (- 1, 96) = 1 - 0, 975 = 0, 025$ . La fonction $Φ$ étant strictement croissante, la valeur cherchée est unique : $\frac{a - 500}{5} = - 1, 96 ⟹ a = 500 - 1, 96 \times 5 = 490, 2 g .$

La seconde probabilité. $\frac{510 - 500}{5} = 2$ , donc $P (X > 510) = 1 - Φ (2) = 1 - 0, 9772 = 0, 0228,$ soit environ $2, 3 %$ de pièces trop lourdes.

Lecture de gestion. En rebutant en dessous de $490, 2$ g et au-dessus de $509, 8$ g — le seuil symétrique, obtenu de la même façon avec $+ 1, 96$ —, on écarte $5 %$ des pièces et l'on garde exactement $95 %$ de la production. C'est de là que vient la célébrité du nombre $1, 96$ .

Le point délicat. Le seuil ne s'obtient pas en lisant la table dans le sens habituel : on part de la probabilité et l'on remonte à l'abscisse. La symétrie $Φ (- x) = 1 - Φ (x)$ est indispensable, la table ne donnant que les valeurs positives.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.