Un temps d'attente au guichet

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi uniforme

Énoncé

Le temps d'attente $X$ , en minutes, à un guichet est modélisé par $U [0, 20]$ . Calculer la probabilité d'attendre plus d'un quart d'heure, l'attente moyenne, et $P (5 \leq X \leq 12)$ .

Corrigé

Plus de quinze minutes. $P (X > 15) = \frac{20 - 15}{20} = 0, 25$ .

Attente moyenne. $E (X) = \frac{0 + 20}{2} = 10$ minutes.

Entre 5 et 12 minutes. $P (5 \leq X \leq 12) = \frac{12 - 5}{20} = \frac{7}{20} = 0, 35$ .

Dispersion. $V (X) = \frac{400}{12} \approx 33, 33$ , donc $σ (X) \approx 5, 77$ minutes.

Limite du modèle. La loi uniforme suppose qu'attendre $19$ minutes est aussi probable qu'attendre $1$ minute. Pour une file réelle, la loi exponentielle est souvent plus fidèle : elle concentre la masse sur les attentes courtes.

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