Une durée entre deux pannes

Espérance et écart-type. Pour $X\hookrightarrow \mathcal{E}(\lambda )$ avec $\lambda =\frac{1}{10}$ : $$E(X)=\frac{1}{\lambda }=10\text{jours},V(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}=100,\sigma (X)=10\text{jours}.$$ L'écart-type est égal à la moyenne : c'est une propriété de toutes les lois exponentielles.

La survie à dix jours. Pour $x\ge 0$, $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$, donc $$P(X>10)={\mathrm{e}}^{-10/10}={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368.$$

La panne dans les cinq premiers jours. La fonction de répartition vaut $F_X(x)=1-{\mathrm{e}}^{-x/10}$, donc $$P(X\le 5)=1-{\mathrm{e}}^{-0,5}\approx 1-0,607=0,393.$$

Lecture. Près de $40\%$ des intervalles entre pannes durent moins de cinq jours, alors que la moyenne en annonce dix : la loi exponentielle produit beaucoup de courtes durées, compensées par quelques très longues.