Une fenêtre qui déborde à gauche de zéro

Densité et répartition. Ici $a=-2$ et $b=6$, donc $b-a=8$ : $$f(t)=\frac{1}{8}\text{ si }t\in [-2,6],f(t)=0\text{ sinon,}$$ $$F_X(x)=0\text{ si }x<-2,F_X(x)=\frac{x+2}{8}\text{ si }-2\le x\le 6,F_X(x)=1\text{ si }x>6.$$

La première probabilité. $$P(X\ge 0)=1-F_X(0)=1-\frac{2}{8}=\frac{3}{4}=0,75.$$ On peut la lire autrement : $[0,6]$ occupe $6$ des $8$ unités de la fenêtre, donc $\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.

Espérance et écart-type. Les formules de la loi uniforme donnent $$E(X)=\frac{-2+6}{2}=2,V(X)=\frac{(6-(-2){)}^2}{12}=\frac{64}{12}=\frac{16}{3}\approx 5,33,$$ donc $\sigma (X)=\frac{8}{\sqrt{12}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\approx 2,31$.

La dernière probabilité. L'inégalité $|X-2|\le 3$ équivaut à $-1\le X\le 5$, intervalle entièrement contenu dans $[-2,6]$ : $$P(-1\le X\le 5)=\frac{5-(-1)}{8}=\frac{6}{8}=0,75.$$

Le point délicat. Une borne négative ne change rien aux formules, à condition d'écrire $b-a$ et non $b$. Et l'on remarquera que la probabilité de rester à moins de $3$ de la moyenne, soit $1,3$ écart-type, vaut $0,75$ : pour une loi uniforme, tout est dans la fenêtre, rien au-delà.