Une garantie à dimensionner

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi exponentielle

Énoncé

La durée de vie $X$ , en années, d'un matériel suit une loi exponentielle d'espérance $6$ ans. Déterminer le paramètre $λ$ , calculer $P (X > 10)$ , puis la durée de garantie $g$ pour laquelle au plus $10 %$ des matériels tombent en panne avant l'échéance. On donne $ln (0, 9) \approx - 0, 105$ .

Corrigé

Le paramètre. Pour $X ↪ E (λ)$ , on a $E (X) = \frac{1}{λ}$ . L'égalité $\frac{1}{λ} = 6$ donne $λ = \frac{1}{6}$ .

La survie à dix ans. La fonction de répartition vaut $F_{X} (x) = 1 - e^{- x /6}$ pour $x \geq 0$ , donc $P (X > 10) = e^{- 10/6} = e^{- 5/3} \approx 0, 189.$ Environ $19 %$ des matériels dépassent dix ans.

La garantie. On cherche $g > 0$ tel que $P (X \leq g) \leq 0, 10$ , c'est-à-dire $1 - e^{- g /6} \leq 0, 10 ⟺ e^{- g /6} \geq 0, 90.$ Le logarithme étant strictement croissant, cela équivaut à $- \frac{g}{6} \geq ln (0, 9)$ , puis, en multipliant par $- 6 < 0$ — ce qui renverse le sens —, à $g \leq - 6 ln (0, 9) \approx 6 \times 0, 105 = 0, 632 an .$ La garantie la plus longue admissible dure donc environ $0, 63$ an, soit un peu plus de sept mois.

Le point délicat. L'espérance vaut six ans, et pourtant on ne peut garantir que sept mois si l'on veut moins d'un dixième de retours. C'est la marque de la loi exponentielle : son écart-type est aussi grand que sa moyenne, et beaucoup de matériels lâchent très tôt. Confondre « durée de vie moyenne » et « durée garantie » est la faute la plus coûteuse du thème.

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