Une loi uniforme

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi uniforme

Énoncé

Soit $X ↪ U [0, 10]$ . Donner sa densité et sa fonction de répartition, puis calculer $P (3 \leq X \leq 7)$ , $E (X)$ , $V (X)$ et $σ (X)$ .

Corrigé

Densité. $f (t) = \frac{1}{10}$ sur $[0, 10]$ , $0$ ailleurs.

Répartition. $F_{X} (x) = 0$ si $x < 0$ , $\frac{x}{10}$ si $0 \leq x \leq 10$ , $1$ si $x > 10$ .

Probabilité. $P (3 \leq X \leq 7) = \frac{7 - 3}{10} = 0, 4$ .

Espérance. $E (X) = \frac{0 + 10}{2} = 5$ .

Variance. $V (X) = \frac{1 0 ^{2}}{12} = \frac{100}{12} \approx 8, 333$ , donc $σ (X) = \frac{10}{12} \approx 2, 887$ .

Contrôle. $[E - σ, E + σ] = [2, 11; 7, 89]$ , de longueur $5, 77$ , donc de probabilité $0, 577$ : un peu moins que les $0, 683$ du cas normal, parce que la loi uniforme n'a pas de queues.

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