Une loi uniforme sur un segment

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi uniforme

Énoncé

Soit $X ↪ U [2, 8]$ . Donner la densité et la fonction de répartition de $X$ , puis calculer $E (X)$ , $V (X)$ , $σ (X)$ et $P (3 \leq X \leq 5)$ .

Corrigé

Densité. Avec $a = 2$ et $b = 8$ , la longueur vaut $b - a = 6$ , donc $f (t) = \frac{1}{6} si t \in [2, 8], f (t) = 0 sinon.$

Fonction de répartition. $F_{X} (x) = 0 si x < 2, F_{X} (x) = \frac{x - 2}{6} si 2 \leq x \leq 8, F_{X} (x) = 1 si x > 8.$

Espérance, variance, écart-type. Les formules de la loi uniforme donnent $E (X) = \frac{2 + 8}{2} = 5, V (X) = \frac{( 8 - 2 ) ^{2}}{12} = \frac{36}{12} = 3, σ (X) = 3 \approx 1, 73.$

La probabilité demandée. C'est le rapport des longueurs : $P (3 \leq X \leq 5) = \frac{5 - 3}{6} = \frac{1}{3} \approx 0, 333.$

Contrôle. On retrouve la même valeur par la fonction de répartition : $F_{X} (5) - F_{X} (3) = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.