Une loi uniforme sur un segment

Densité. Avec $a=2$ et $b=8$, la longueur vaut $b-a=6$, donc $$f(t)=\frac{1}{6}\text{ si }t\in [2,8],f(t)=0\text{ sinon.}$$

Fonction de répartition. $$F_X(x)=0\text{ si }x<2,F_X(x)=\frac{x-2}{6}\text{ si }2\le x\le 8,F_X(x)=1\text{ si }x>8.$$

Espérance, variance, écart-type. Les formules de la loi uniforme donnent $$E(X)=\frac{2+8}{2}=5,V(X)=\frac{(8-2{)}^2}{12}=\frac{36}{12}=3,\sigma (X)=\sqrt{3}\approx 1,73.$$

La probabilité demandée. C'est le rapport des longueurs : $$P(3\le X\le 5)=\frac{5-3}{6}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Contrôle. On retrouve la même valeur par la fonction de répartition : $F_X(5)-F_X(3)=\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$.