Une machine sans mémoire

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 9 — Lois à densité usuelles · La loi exponentielle

Énoncé

Soit $X ↪ E (λ)$ . Montrer que pour tous $s, t \geq 0$ , $P_{[X > s]} ([X > s + t]) = P (X > t)$ . Application avec $λ = \frac{1}{5}$ , $s = 3$ et $t = 5$ .

Corrigé

La démonstration. L'événement $[X > s + t]$ est inclus dans $[X > s]$ , donc

$P_{[X > s]} ([X > s + t]) = \frac{P ([ X > s + t ] \cap [ X > s ])}{P ( X > s )} = \frac{P ( X > s + t )}{P ( X > s )} .$

Or $P (X > x) = e^{- λ x}$ , d'où

$\frac{e ^{- λ (s + t)}}{e ^{- λ s}} = e^{- λ t} = P (X > t) .$

Application. Avec $λ = \frac{1}{5}$ , $s = 3$ , $t = 5$ : $P_{[X > 3]} ([X > 8]) = e^{- 1} \approx 0, 368$ , qui est bien $P (X > 5)$ .

Interprétation. Une machine qui a tenu trois ans a la même probabilité de tenir cinq ans de plus qu'une machine neuve d'en tenir cinq. Le modèle exponentiel décrit une panne accidentelle, jamais une usure progressive.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.