Une machine sans mémoire

La démonstration. L'événement $[X>s+t]$ est inclus dans $[X>s]$, donc

$$P_{[X>s]}([X>s+t])=\frac{P([X>s+t]\cap [X>s])}{P(X>s)}=\frac{P(X>s+t)}{P(X>s)}.$$

Or $P(X>x)={\mathrm{e}}^{-\lambda x}$, d'où

$$\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda (s+t)}}{{\mathrm{e}}^{-\lambda s}}={\mathrm{e}}^{-\lambda t}=P(X>t).$$

Application. Avec $\lambda =\frac{1}{5}$, $s=3$, $t=5$ : $P_{[X>3]}([X>8])={\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,368$, qui est bien $P(X>5)$.

Interprétation. Une machine qui a tenu trois ans a la même probabilité de tenir cinq ans de plus qu'une machine neuve d'en tenir cinq. Le modèle exponentiel décrit une panne accidentelle, jamais une usure progressive.