Une transformée affine d'une uniforme

La répartition de $X$. Pour $0\le x\le 1$, $F_X(x)=x$ ; elle vaut $0$ avant et $1$ après.

Les valeurs prises par $Y$. Quand $X$ parcourt $[0,1]$, $5+3X$ parcourt $[5,8]$. Donc $F_Y(y)=0$ pour $y<5$ et $F_Y(y)=1$ pour $y>8$.

Le cœur du calcul. Pour $5\le y\le 8$, comme $3>0$ l'inégalité se transporte sans changer de sens : $$F_Y(y)=P(5+3X\le y)=P\left(X\le \frac{y-5}{3}\right)=F_X\left(\frac{y-5}{3}\right)=\frac{y-5}{3}.$$

La densité. On dérive : $f_Y(y)=\frac{1}{3}$ pour $5<y<8$, et $0$ ailleurs.

Reconnaissance. C'est exactement la densité de la loi uniforme sur $[5,8]$, dont la longueur est $8-5=3$ : donc $Y\hookrightarrow \mathcal{U}[5,8]$.

Espérance et variance. $$E(Y)=\frac{5+8}{2}=6,5,V(Y)=\frac{(8-5{)}^2}{12}=\frac{9}{12}=0,75,\sigma (Y)\approx 0,866.$$

Contrôle. On retrouve $E(Y)=5+3E(X)=5+1,5=6,5$ et $V(Y)=3^{2}V(X)=9\times \frac{1}{12}=0,75$ : les règles de l'espérance et de la variance d'une transformée affine confirment le calcul par la densité.

Ce que cela signifie. Une translation et une dilatation ne détruisent pas l'uniformité : aucune valeur de la nouvelle fenêtre n'est privilégiée non plus.