Inverser dans ℤ/nℤ

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 — Structures algébriques usuelles · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Justifier que $7$ est inversible dans $Z /26 Z$ et calculer son inverse.

Corrigé

$7 \land 26 = 1$ : inversible. Euclide étendu : $26 = 3 \times 7 + 5$ , $7 = 5 + 2$ , $5 = 2 \times 2 + 1$ , puis remontée : $1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - 2 (7 - 5) = 3 \times 5 - 2 \times 7 = 3 (26 - 3 \times 7) - 2 \times 7 = 3 \times 26 - 11 \times 7.$ Donc $- 11 \times 7 \equiv 1 [26]$ , soit $7^{- 1} = - 11 = 15$ . (Contrôle : $7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1$ ✓ — c'est le calcul du déchiffrement affine en cryptographie classique.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.