Inversibilité et inverse lus sur le polynôme minimal

La stratégie, et les outils. La division euclidienne de ${\mu }_A$ par $X$ isole le terme constant : ${\mu }_A(A)=0$ devient une relation $AQ(A)=-c{I}_n$ qui est l'inverse dès que $c\ne 0$. Dans l'autre sens, c'est la minimalité du degré de ${\mu }_A$ qui interdit $c=0$ quand $A$ est inversible. Outils : $P\mapsto P(A)$ est un morphisme d'algèbres, et $\mathbb{K}[X]$ est principal. Aucun pivot, aucune comatrice, aucun déterminant.

a) L'idéal annulateur. ${\mathcal{I}}_A$ est le noyau du morphisme d'algèbres $P\mapsto P(A)$ ; un noyau de morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal.

Il est non nul. ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{K})$ est de dimension $n^2$ et la famille $\left(I_n,A,\dots ,A^{n^2}\right)$ compte $n^2+1$ matrices : elle est liée, d'où des scalaires non tous nuls avec ${\sum }_j{c}_j{A}^j=0$, c'est-à-dire un polynôme non nul annulant $A$.

Le générateur. $\mathbb{K}[X]$ étant principal, il existe un unique polynôme unitaire ${\mu }_A$ avec ${\mathcal{I}}_A={\mu }_A\mathbb{K}[X]$ : ${\mu }_A$ annule $A$, et tout annulateur en est un multiple — en particulier aucun polynôme non nul de degré strictement inférieur à $\mathrm{deg}{\mu }_A$ n'annule $A$.

b) La relation fondamentale. Le reste de la division de ${\mu }_A$ par $X$ est une constante $c$ : ${\mu }_A=XQ+c$. En évaluant ce polynôme en $0$, ${\mu }_A(0)=c$. En évaluant en $A$ — l'évaluation respecte sommes et produits : $$0={\mu }_A(A)=AQ(A)+c{I}_n,\text{soit}AQ(A)=-c{I}_n.$$ Remarquons que $A$ et $Q(A)$ commutent, comme éléments de l'algèbre commutative $\mathbb{K}[A]$ : on a donc aussi $Q(A)A=-c{I}_n$, ce qui évite toute discussion entre inverse à gauche et inverse à droite.

c) Sens direct. Si $c={\mu }_A(0)\ne 0$, divisons par $-c$ : $$A\times \left(-\frac{1}{c}Q(A)\right)=I_n=\left(-\frac{1}{c}Q(A)\right)\times A.$$ Donc $A$ est inversible, d'inverse $$A^{-1}=-\frac{1}{{\mu }_A(0)}Q(A)\in \mathbb{K}[A],$$ un polynôme en $A$, de degré au plus $\mathrm{deg}{\mu }_A-1$.

d) Sens réciproque. Si $c=0$, alors ${\mu }_A=XQ$ et la relation fondamentale devient $AQ(A)=0$. Si $A$ était inversible, en multipliant à gauche par $A^{-1}$ on obtiendrait $Q(A)=0$. Or $Q$ est non nul — son coefficient dominant est celui de ${\mu }_A$, égal à $1$ — et de degré strictement inférieur à $\mathrm{deg}{\mu }_A$ : cela contredirait la minimalité. Donc $A$ n'est pas inversible. D'où $$A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺{\mu }_A(0)\ne 0,\text{et alors}{A}^{-1}=-\frac{1}{{\mu }_A(0)}Q(A).$$

e) Les deux exemples.

Une matrice inversible. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $$\left(A-I_2\right)\left(A-2I_2\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$ donc $X^2-3X+2$ annule $A$ et ${\mu }_A$ le divise. Aucun polynôme unitaire de degré $1$ n'annule $A$ : un tel $X-\lambda$ donnerait $A=\lambda I_2$, ce qui est faux. Donc ${\mu }_A=X^2-3X+2$, avec $c=2\ne 0$ et $Q=X-3$ : $$A^{-1}=-\frac{1}{2}\left(A-3I_2\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$ Contrôle direct : $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$ ✓.

Une matrice non inversible. Pour $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, on vérifie $B^2=B$ : c'est un projecteur, donc $X^2-X=X(X-1)$ l'annule, et ni $X$ ni $X-1$ ne l'annulent ($B\ne 0$, $B\ne I_2$). Donc ${\mu }_B=X^2-X$ et ${\mu }_B(0)=0$ : $B$ n'est pas inversible — de fait, sa seconde ligne est nulle.

Une relecture, et un prolongement annoncé. On vient de montrer que l'algèbre $\mathbb{K}[A]$ est stable par passage à l'inverse ; conséquence très utile : $A^{-1}$ commute avec tout ce qui commute avec $A$. (Au chapitre suivant, on verra que les racines de ${\mu }_A$ sont exactement les valeurs propres de $A$, de sorte que « ${\mu }_A(0)\ne 0$ » signifie « $0$ n'est pas valeur propre » ; ces énoncés appartiennent au chapitre 2 et ne sont pas utilisés ici.)

Ce que l'exercice installe. L'inversibilité d'une matrice se lit sur un seul coefficient d'un polynôme, et l'inverse vit dans l'algèbre engendrée par $A$. C'est le premier exemple où l'idéal annulateur sert d'outil de calcul et non de définition : on y reviendra pour le commutant, pour les sous-espaces stables et pour toute la réduction.