L'idéal annulateur d'une matrice

Structures algébriques usuelles · Niveau ★★★ — approfondissement · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (K)$ . Montrer que $I_{A} = {P \in K [X] : P (A) = 0}$ est un idéal non nul de $K [X]$ . En déduire l'existence d'un unique polynôme unitaire $μ_{A}$ engendrant $I_{A}$ , et le déterminer pour $A = (1002)$ .

Corrigé

Idéal : $P \mapsto P (A)$ est un morphisme d'algèbres de $K [X]$ dans $M_{n} (K)$ ; $I_{A}$ est son noyau, donc un idéal ( $P (A) = 0 \Rightarrow (QP) (A) = Q (A) P (A) = 0$ ).

Non nul : la famille $(I, A, A^{2}, \dots, A^{n^{2}})$ compte $n^{2} + 1$ vecteurs dans $M_{n} (K)$ , de dimension $n^{2}$ : elle est liée (première année), et une relation de dépendance non triviale $\sum λ_{k} A^{k} = 0$ fournit un polynôme annulateur non nul.

$K [X]$ étant principal, $I_{A} = μ_{A} K [X]$ pour un unique générateur unitaire $μ_{A}$ : le polynôme minimal de $A$ — le polynôme annulateur unitaire de plus bas degré, qui divise tous les autres. C'est l'outil fondateur de la réduction des endomorphismes (chapitres à venir).

Pour $A = diag (1, 2)$ : $P (A) = diag (P (1), P (2))$ , donc $P (A) = 0 ⟺ P (1) = P (2) = 0 ⟺ (X - 1) (X - 2) ∣ P$ : $μ_{A} = (X - 1) (X - 2) .$

Énoncé

Corrigé

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