Le théorème d'Euler au travail

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 — Structures algébriques usuelles · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Quel est le dernier chiffre de $7^{100}$ ? Et le reste de $2^{1000}$ modulo $13$ ?

Corrigé

Dernier chiffre $=$ reste modulo $10$ . $7 \land 10 = 1$ et $φ (10) = 4$ : Euler donne $7^{4} \equiv 1 [10]$ . Comme $100 = 4 \times 25$ : $7^{100} = (7^{4})^{25} \equiv 1 [10] : dernier chiffre 1 .$ Modulo $13$ (premier) : Fermat donne $2^{12} \equiv 1 [13]$ , et $1000 = 12 \times 83 + 4$ : $2^{1000} \equiv 2^{4} = 16 \equiv 3 [13] .$ (La machine est toujours la même : réduire l'exposant modulo $φ (n)$ — c'est Lagrange dans le groupe des inversibles.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.