Le théorème d'Euler au travail

Dernier chiffre $=$ reste modulo $10$. $7\wedge 10=1$ et $\phi (10)=4$ : Euler donne $7^4\equiv 1[10]$. Comme $100=4\times 25$ : $$7^{100}={\left(7^4\right)}^{25}\equiv 1[10]:\text{dernier chiffre }1.$$ Modulo $13$ (premier) : Fermat donne $2^{12}\equiv 1[13]$, et $1000=12\times 83+4$ : $$2^{1000}\equiv 2^4=16\equiv 3[13].$$ (La machine est toujours la même : réduire l'exposant modulo $\phi (n)$ — c'est Lagrange dans le groupe des inversibles.)