Les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : un par diviseur de $n$

La stratégie, et les outils. Tout passe par la surjection canonique $\pi$, qui est un morphisme d'anneaux. On remonte un idéal de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ en un idéal de $\mathbb{Z}$, on invoque la principalité de $\mathbb{Z}$ (théorème du cours), puis on redescend par surjectivité. Chaque sens utilise une propriété différente de $\pi$.

a) La remontée. Soit $J={\pi }^{-1}(I)=\left\{m\in \mathbb{Z}:\overline{m}\in I\right\}$.

$J$ est un sous-groupe additif : $\overline{0}\in I$ donne $0\in J$, et si $\overline{m},\overline{m^{\prime }}\in I$ alors $\overline{m-m^{\prime }}\in I$. Il est absorbant : pour $m\in J$ et $a\in \mathbb{Z}$, $\pi (am)=\overline{a}\pi (m)$ est le produit d'un élément de l'anneau par un élément de l'idéal $I$, donc appartient à $I$, donc $am\in J$. Ainsi $J$ est un idéal de $\mathbb{Z}$ ; et $\pi (n)=\overline{0}\in I$ donne $n\in J$, puis $n\mathbb{Z}\subset J$.

b) La principalité, et la divisibilité. $\mathbb{Z}$ étant principal, $J=k\mathbb{Z}$ pour un $k\ge 0$. Comme $n\in J$ avec $n\ge 1$, on a $J\ne \{0\}$ donc $k\ge 1$. Enfin $$n\mathbb{Z}\subset k\mathbb{Z}⟺n\in k\mathbb{Z}⟺k\mid n.$$ C'est ici, et ici seulement, que les diviseurs de $n$ apparaissent : la contrainte « $J$ contient $n\mathbb{Z}$ » se traduit exactement en « $k$ divise $n$ ».

c) La redescente. $\pi$ étant surjective, on a $\pi \left({\pi }^{-1}(I)\right)=I$, d'où $$I=\pi (k\mathbb{Z})=\left\{\overline{km}:m\in \mathbb{Z}\right\}=⟨\overline{k}⟩.$$ Tout idéal de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est donc monogène, engendré par la classe d'un diviseur de $n$ ; et réciproquement chaque $⟨\overline{k}⟩$ est un idéal.

d) La liste est sans répétition. Pour $k\mid n$, l'idéal $⟨\overline{k}⟩$ est aussi le sous-groupe additif engendré par $\overline{k}$, de cardinal $\mathrm{ord}\left(\overline{k}\right)=n/(k\wedge n)=n/k$. Deux diviseurs distincts donnent des cardinaux distincts, donc des idéaux distincts : $$\left\{\text{ideˊaux de }\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\right\}=\left\{⟨\overline{k}⟩:k\ge 1,k\mid n\right\},$$ et il y en a exactement $d(n)$, le nombre de diviseurs positifs de $n$. L'inclusion se lit à l'envers de la divisibilité : $⟨\overline{k}⟩\subset ⟨\overline{k^{\prime }}⟩⟺k^{\prime }\mid k$.

Contrôle sur $n=12$. Les diviseurs sont $1,2,3,4,6,12$ : six idéaux, $⟨\overline{1}⟩=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$, $⟨\overline{2}⟩$, $⟨\overline{3}⟩$, $⟨\overline{4}⟩$, $⟨\overline{6}⟩$ et $⟨\overline{12}⟩=\left\{\overline{0}\right\}$, de cardinaux $12,6,4,3,2,1$. Pour un $k$ non diviseur, on retombe sur la liste : $⟨\overline{8}⟩=\left\{\overline{0},\overline{8},\overline{4}\right\}=⟨\overline{4}⟩$, conformément à $8\wedge 12=4$.

e) Idéaux et sous-groupes coïncident, et ce n'est pas général. Tout idéal est un sous-groupe additif. La réciproque est vraie ici : soient $H$ un sous-groupe de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$, $h\in H$ et $\overline{a}\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Comme $\overline{a}=a\cdot \overline{1}$, $$\overline{a}h=\left(a\cdot \overline{1}\right)h=a\cdot h=\underset{a\text{ fois}}{\underbrace{h+\cdots +h}}\in H$$ (et $a\cdot h=-\left((-a)\cdot h\right)\in H$ si $a<0$). L'absorption est automatique parce que l'anneau est engendré par $\overline{1}$ comme groupe additif. Rien de général : dans $\mathbb{K}[X]$, les sous-groupes additifs sont innombrables alors que les idéaux sont les $P\mathbb{K}[X]$.

⚠️ Attention au vocabulaire. On évite de dire que $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est « principal » : ce mot est réservé aux anneaux intègres dont tout idéal est monogène. Or $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ n'est pas intègre ($\overline{2}\overline{3}=\overline{0}$). Ici tous les idéaux sont monogènes sans que l'anneau soit principal.

Ce que l'exercice installe. Le passage au quotient transporte le treillis des idéaux : les idéaux de $A/I$ sont les images des idéaux de $A$ contenant $I$. Et retenir la forme du raisonnement : remonter, utiliser la principalité, redescendre.