mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Les racines carrées de $1$ dans $Z / n Z$

Structures algébriques usuelles · C. $Z / n Z$ , théorème chinois, Euler · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Résoudre $x^{2} = 1$ dans $Z /8 Z$ . Combien de solutions ? Commenter au regard du degré du polynôme $X^{2} - 1$ .

b) Soit $p$ un nombre premier impair et $k \geq 1$ . Montrer que $x^{2} = 1$ a exactement deux solutions dans $Z / p^{k} Z$ .

c) Soit $n = p_{1}^{α_{1}} \dots p_{r}^{α_{r}}$ impair. En transportant l'équation par l'isomorphisme du théorème chinois, montrer que $x^{2} = 1$ a exactement $2^{r}$ solutions dans $Z / n Z$ .

d) Vérifier sur $n = 15$ , puis sur $n = 105$ .

e) Que devient le compte si $n$ est pair ? Traiter $n = 2^{α}$ à part, à l'aide du a).

Corrigé de la question 1

La stratégie, et les outils. Un isomorphisme d'anneaux transporte toute équation polynomiale : $x$ est solution dans $Z / n Z$ si et seulement si chacune de ses composantes l'est dans son facteur, et le comptage devient un produit. Reste à compter dans un facteur $Z / p^{k} Z$ — c'est là que la parité de $p$ intervient. Outils : le théorème chinois et la valuation $p$ -adique, c'est-à-dire l'exposant de $p$ dans une décomposition.

a) Dans $Z /8 Z$ . On teste les huit classes : $0^{2} = 0$ , $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , $3^{2} = 9 \equiv 1$ , $4^{2} = 16 \equiv 0$ , $5^{2} = 25 \equiv 1$ , $6^{2} = 36 \equiv 4$ , $7^{2} = 49 \equiv 1$ . D'où ${x \in Z /8 Z : x^{2} = 1} = {1, 3, 5, 7} : quatre solutions.$ Commentaire. Le polynôme $X^{2} - 1$ , de degré $2$ , possède quatre racines. Il n'y a pas d'erreur : le théorème « au plus $d$ racines » vaut sur un corps, et $Z /8 Z$ n'en est pas un — il n'est même pas intègre. La factorisation $X^{2} - 1 = (X - 1) (X + 1)$ y admet des solutions parasites : pour $x = 3$ , les deux facteurs $2$ et $4$ sont non nuls et leur produit est nul.

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Soit $p$ un nombre premier impair et $k \geq 1$ . Montrer que $x^{2} = 1$ a exactement deux solutions dans $Z / p^{k} Z$ .

Élève

L'équation s'écrit $p^{k} ∣ (x - 1) (x + 1)$ . Sur un corps j'en déduirais qu'un des facteurs est nul, mais $Z / p^{k} Z$ n'est pas intègre dès que $k \geq 2$ : rien n'empêche les facteurs $p$ de se répartir entre les deux.

C'est bien le point à régler. Dans $Z /8 Z$ , le partage se produisait avec $x = 3$ : les facteurs valaient $2$ et $4$ . Pourquoi un tel partage ne peut-il pas se reproduire avec un premier impair ?

Élève

Si $p$ divisait à la fois $x - 1$ et $x + 1$ , il diviserait leur différence, qui vaut $2$ , ce qui est exclu. Mais je ne vois pas encore comment en tirer que $p^{k}$ divise l'un des deux.

Introduis les valuations $p$ -adiques $v$ et $w$ de $x - 1$ et $x + 1$ : quelles deux informations as-tu sur elles, et que reste-t-il à vérifier pour compter exactement les solutions ?

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