Les sous-groupes de ℤ/12ℤ

Soit $H$ un sous-groupe. Son cardinal divise $12$ (Lagrange). Pour chaque diviseur $d\mid 12$, le sous-groupe $⟨\overline{12/d}⟩$ est de cardinal $d$ : $$\{\overline{0}\},⟨\overline{6}⟩=\{\overline{0},\overline{6}\},⟨\overline{4}⟩=\{\overline{0},\overline{4},\overline{8}\},⟨\overline{3}⟩,⟨\overline{2}⟩,\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$ (cardinaux $1,2,3,4,6,12$). Ce sont les seuls : l'image réciproque de $H$ par $m\mapsto \overline{m}$ est un sous-groupe de $\mathbb{Z}$ contenant $12\mathbb{Z}$, donc un $k\mathbb{Z}$ avec $k\mid 12$, et $H=⟨\overline{k}⟩$. Le treillis des sous-groupes d'un groupe cyclique est le treillis des diviseurs — tout sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.