Les sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$ : monogènes ou denses

La stratégie, et les outils. Toute la démonstration est gouvernée par une seule quantité, $a=\inf \left(G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\right)$ : c'est elle qui décide du comportement de $G$, et le raisonnement se scinde selon qu'elle est strictement positive ou nulle. On n'utilise que la propriété de la borne inférieure et la division euclidienne réelle : pour $x\in \mathbb{R}$ et $a>0$, il existe un unique $q\in \mathbb{Z}$ tel que $qa\le x<(q+1)a$, à savoir $q=\lfloor x/a\rfloor$.

a) La borne inférieure existe. Comme $G\ne \{0\}$, il existe $x\in G$ non nul ; un sous-groupe est stable par passage à l'opposé, donc $-x\in G$, et l'un des deux réels $x$, $-x$ est strictement positif. Donc $G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ est non vide, et minoré par $0$ : la borne inférieure $a$ existe, et $a\ge 0$.

b) Le cas $a>0$ : $G$ est monogène.

Premier temps : $a\in G$. Par l'absurde, supposons $a\notin G$. Par caractérisation de la borne inférieure, pour tout $\epsilon >0$ il existe $g\in G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ tel que $a\le g<a+\epsilon$ ; et comme $a\notin G$, l'inégalité de gauche est stricte : $a<g<a+\epsilon$.

Appliquons-la deux fois. Avec $\epsilon =a$, on obtient $g_1\in G$ tel que $a<g_1<2a$. Avec ${\epsilon }^{\prime }=g_1-a>0$, on obtient $g_2\in G$ tel que $a<g_2<g_1$. Alors $$g_1-g_2\in G,0<g_1-g_2<g_1-a<a.$$ Ce réel appartient à $G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ et est strictement inférieur à $a$ : cela contredit le fait que $a$ minore cet ensemble. Donc $a\in G$.

Second temps : $G=a\mathbb{Z}$. L'inclusion $a\mathbb{Z}\subset G$ est immédiate : $G$ est un sous-groupe contenant $a$. Réciproquement, soit $x\in G$ ; posons $q=\lfloor x/a\rfloor$ et $r=x-qa$, de sorte que $0\le r<a$. Comme $x\in G$ et $qa\in G$, on a $r\in G$. Si $r>0$, alors $r\in G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ avec $r<a$ : impossible. Donc $r=0$ et $x=qa$. D'où $G=a\mathbb{Z}$.

c) Le cas $a=0$ : $G$ est dense. Soit $]\alpha ,\beta [$ un intervalle ouvert non vide, et $\epsilon =\beta -\alpha >0$. Comme $\inf \left(G\cap {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\right)=0<\epsilon$, le réel $\epsilon$ n'est pas un minorant : il existe $g\in G$ avec $0<g<\epsilon$. Les multiples $kg$ sont tous dans $G$ et balaient la droite par pas $g$, strictement plus court que l'intervalle : l'un d'eux doit y tomber. Précisément, posons $k=\lfloor \alpha /g\rfloor +1$, de sorte que $(k-1)g\le \alpha <kg$ ; alors $$\alpha <kg=(k-1)g+g\le \alpha +g<\alpha +\epsilon =\beta .$$ Donc $kg\in ]\alpha ,\beta [\cap G$ : $G$ est dense dans $\mathbb{R}$.

d) La dichotomie. Les deux cas sont exclusifs et exhaustifs : tout sous-groupe de $(\mathbb{R},+)$ est soit de la forme $a\mathbb{Z}$ avec $a\ge 0$, soit dense dans $\mathbb{R}$.

Comparaison avec $\mathbb{Z}$. Dans $(\mathbb{Z},+)$, $H\cap {\mathbb{N}}^{\ast }$ admet un minimum, entier $\ge 1$ donc strictement positif : le cas « $a=0$ » ne peut pas se produire, et il ne reste que $H=n\mathbb{Z}$. La seconde branche n'existe dans $\mathbb{R}$ que parce qu'une borne inférieure n'y est pas toujours atteinte.

e) L'application. $G=\{m+n\alpha :(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\}$ contient $0$ et la différence de deux de ses éléments : c'est un sous-groupe. Supposons par l'absurde $G=a\mathbb{Z}$ ; comme $1\in G$, on a $a>0$. Alors $1=pa$ et $\alpha =qa$ avec $p,q\in \mathbb{Z}$, $p\ne 0$, d'où $a=1/p$ puis $\alpha =q/p\in \mathbb{Q}$ — contradiction. D'après le d), $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

Une conséquence à connaître. La densité de $\mathbb{Z}+\alpha \mathbb{Z}$ signifie que les parties fractionnaires des $n\alpha$ sont denses dans $[0,1]$. Avec $\alpha =1/(2\pi )$, la suite $(\sin n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est donc dense dans $[-1,1]$, et en particulier diverge : un résultat algébrique règle une question analytique qu'aucun calcul de limite n'atteint.

Ce que l'exercice installe. Une hypothèse purement algébrique impose un comportement topologique : discret ou dense, sans intermédiaire, et c'est une borne inférieure qui tranche. On retrouvera ce mécanisme au chapitre de topologie, et au chapitre des espaces euclidiens, où le noyau du morphisme $t\mapsto R(t)$ est le sous-groupe $2\pi \mathbb{Z}$ — donc discret, donc monogène.