Quatre générateurs en cycle, le groupe de Higman

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 — Structures algébriques usuelles · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Soit $G$ un groupe fini engendré par quatre éléments $a, b, c, d$ tels que $ba b^{- 1} = a^{2}, c b c^{- 1} = b^{2}, d c d^{- 1} = c^{2}, a d a^{- 1} = d^{2} .$ Montrer que $G$ est trivial.

Corrigé

On démontre un lemme sur les ordres, puis on l'applique en cycle pour aboutir à une contradiction.

Notation. Pour $x \neq = e$ dans $G$ , on note $p (x)$ le plus petit nombre premier qui divise $ord (x)$ ; il existe car $G$ est fini et $ord (x) \geq 2$ .

Lemme. Si $y x y^{- 1} = x^{2}$ et $x \neq = e$ , alors $y \neq = e$ et $p (y) < p (x)$ .

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