mathématiques (MP/MPI) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Reconnaître un idéal

Structures algébriques usuelles · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire · niveau 2

Énoncé

Montrer que $I = {P \in K [X] : P (0) = 0}$ est un idéal de $K [X]$ , et en donner un générateur. L'ensemble $J = {P : P (0) = 1}$ est-il un idéal ?

Corrigé

$I$ est le noyau du morphisme d'anneaux d'évaluation $P \mapsto P (0)$ : c'est un idéal (théorème du cours). Directement : stable par somme, et si $P (0) = 0$ , alors $(QP) (0) = Q (0) P (0) = 0$ pour tout $Q$ — absorbant.

Générateur : $P (0) = 0 ⟺ X ∣ P$ (première année), donc $I = X K [X]$ — principal, comme tout idéal de $K [X]$ .

$J$ n'est pas un idéal : $0 \in / J$ (ou : pas stable par somme, $1 + 1 = 2 \neq = 1$ en la valeur en $0$ ).

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