Sous-groupes engendrés, générateurs

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 — Structures algébriques usuelles · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Dans $(Z, +)$ , déterminer $⟨ 6, 10 ⟩$ . Puis donner tous les générateurs de $(Z /12 Z, +)$ .

Corrigé

$⟨ 6, 10 ⟩ = 6 Z + 10 Z$ est un sous-groupe de $Z$ , donc de la forme $d Z$ : c'est l'idéal du PGCD, $d = 6 \land 10 = 2$ , soit $⟨ 6, 10 ⟩ = 2 Z$ (Bézout : $2 = 2 \times 6 - 10$ ✓).

Les générateurs de $Z /12 Z$ sont les $k$ avec $k \land 12 = 1$ : $1, 5, 7, 11 (soit φ (12) = 4 g e ˊ n e ˊ rateurs) .$

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